Question

几何题求证

Answer 1

如图，D为AC边的中点，∠A=3∠C，∠ADB=45°，求证AB⊥BC。
证明：过B作BE⊥AC，E为垂足。不失一般性，设AC=2，则AD=DC=1，再设ED=x，则AE=1-x，
EC=1+x，∵∠ADB=45°，∴BE=ED=X；于是有等式：(1-x)tan3C=(1+x)tanC=x，即有：
(1-x)(sin3C/cos3C)=(1+x)(sinC/cosC)..............(1)
用3倍角公式：sin3C=3sinC-4sin³C；cos3C=4cos³C-3cosC，代入(1)式，并化简得：
(1-x)(3-4sin²C)/(4cos²C-3)=1+x，即有：
(1-x)(3-4sin²C)=(1+x)(4cos²C-3)，展开化简得：x=1/(2cos2C). ...............(2)
代入tanC=x/(1+x)，得tanC=1/(1+2cos2C)；即有sinC(1+2cos2C)=cosC
sinC[1+2(cos²C-sin²C)]=cosC，2sinC(cosC+sinC)(cosC-sinC)=cosC-sinC，
C≠45°，故cosC-sinC≠0，故可将其消去得2sinC(cosC+sinC)=1，
2sinC[(√2)cos(C-45°)]=1
2sinCcos(C-45°)=(√2)/2
用积化和差公式得sin45°+sin(2C-45°)=(√2)/2，故sin(2C-45°)=0，2C-45°=0，∴C=45°/2.
在△ABC中，∠ABC=180°-(∠A+∠C)=180°-(3C+C)=180°-4C=180°-4×(45°/2)=180°-90°=90°
∴AB⊥BC，于是命题得证！

Answer 2

这一题我还没想出好的方法。现在只会一种方法，就是反证法。假设不垂直，过c作ab垂线交ab于b0，可以算出角acb0为22.5，角b0ac为67.5。因此b0ac=3acb0，而这种情况只有b和b0重合时才会有。
应该是过b做ab的垂线。思路类似