Question

因式分解公式及概念

Answer 1

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。

1．运用公式法

　　在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

　　(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；

　　(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；

　　(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；

　　(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．

　　下面再补充几个常用的公式：

　　(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

　　(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；

　　(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n为正整数；

　　(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)，其中n为偶数；

　　(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1)，其中n为奇数．

　　运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．

　　

例1 分解因式：a3+b3+c3-3abc．

　　本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．

　　分析 我们已经知道公式

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

　　的正确性，现将此公式变形为

a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．

　　这个公式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．

　　解 原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc

　　　　　 =［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)

　　　　　 =(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)

　　　　　 =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．

　　　　　

2．拆项、添项法

　　因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．

　　

例2 分解因式：x3-9x+8．

　　分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．

　　解法1 将常数项8拆成-1+9．

　　原式=x3-9x-1+9

　　　　=(x3-1)-9x+9

　　　　=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)

　　　　=(x-1)(x2+x-8)．

　　解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．

　　原式=x3-x-8x+8

　　　　=(x3-x)+(-8x+8)

　　　　=x(x+1)(x-1)-8(x-1)

　　　　=(x-1)(x2+x-8)．

　　解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3．

　　原式=9x3-8x3-9x+8

　　　　=(9x3-9x)+(-8x3+8)

　　　　=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)

　　　　=(x-1)(x2+x-8)．

　　解法4 添加两项-x2+x2．

　　原式=x3-9x+8

　　　　=x3-x2+x2-9x+8

　　　　=x2(x-1)+(x-8)(x-1)

　　　　=(x-1)(x2+x-8)．

　　说明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．

3．换元法

　　换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．

　　例3 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．

　　分析 将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．

　　解 设x2+x=y，则

　　原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10

　　　　=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)

　　　　=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．

　　说明 本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．

　　4、双十字相乘法

　　分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．

　　例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为

2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，

　　可以看作是关于x的二次三项式．

　　对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为

　　

　　

　　(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；

　　(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；

　　(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．

　　这就是所谓的双十字相乘法．

　　用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：

　　(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；

　　(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．

　　

例4 分解因式：

　　x2-3xy-10y2+x+9y-2

解：

　原式=(x-5y+2)(x+2y-1)

Answer 2

因式分解公式

公式描述：

式一为平方差公式，式二为完全平方公式，式三为立方差公式，式四为立方和公式，式五为十字相乘法公式。

因式分解的概念：

把一个多项式在一个范围（如有理数范围内分解，即所有项均为有理数）化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫作分解因式。

Answer 3

提公因式
运用公式
十字相乘
拆项、添项