Question

高阶常系数齐次线性微分方程的特征根怎么求？

y''''-y=0的特征方程为r^4-1=0. 我的问题是怎么求出特征根，用的什么方法，请详述

Answer 1

特征方程本身就是一个一元方程.
高阶常系数齐次线性微分方程的特征方程是一个一元高次方程.
这里的特征方程一定能够得到与特征方程的次数相同个数的解.
对于一元一次和一元二次方程可以根据固定的公式得到它们的解.
但对于三次或者更高次的方程来说,尽管三次的也有求根公式,但是已经相当的麻烦了.因此只能根据自己的经验来求.
拿你的例子来说,可以直接将左边因式分解得到(r+i)(r-i)(r+1)(r-1)=0
从而得到该方程的四个特征根±1,±i
从而得到该方程的四个线性无关解e^x, e^(-x), cosx, sinx
因此原方程的通解为y=C1e^x+C2e^(-x)+C3cosx+C4sinx, 其中C1,C2,C3,C4为任意常数.

Answer 2

r^4 - 1 = 0 ==> (r^2-1)*(r^2 + 1) = 0 ==>(r-1)(r+1)(r-i)(r+i) = 0 ==>r = 1,-1,i,-i
不知是不是这个问题。。