Question

已知f(x)=In(x+1),若x>0，证明：f(x)>2x/x+2.

Answer 1

证明：
令F(x)=f(x)-2x/(x+2)=ln(x+1)-2x/(x+2)
F'(x)=1/(x+1)-4/(x+2)^2=[(x+2)^2-4(x+1)]/[(x+1)(x+2)^2]=x^2/[(x+1)(x+2)^2]
当x>=0时
F'(X)>=0
所以x>=0时，F(x)是增函数
x>0时，F(x)>F(0)=0
即f(x)-2x/(x+2)>0
f(x)>2x/(x+2)

Answer 2

要证明f(x)>2x/x+2
可以证明 f(x) - 2x/x+2 >0, 当x>0时
即 g(x) = ln(x+1) - 2x/(x+2) >0
首先可以验证g(0) = 0
然后证明g(x) 当x>0时是递增函数。
g'(x) = x^2 / (x+1)(x+2)^2 当x>0时 g'(x) >0 所以g(x)对于x>0 是递增函数.又因g(0)=0
因此 g(x)>0 当x>0 证毕

Answer 3

设x+1=k,则原式是㏑k﹥(2k-2)/(k+1),即为㏑k﹥2-4/(k+1)，设函数为g(k)=lnk-2+4/(k+1)（k﹥1),求导得g'(x)=1/k-4/(k+1)²(k＞1),很明显了导数恒大于零，递增，g(1)=0,因此g(x)恒大于0,原式得证。