Question

已知F（x)是定义在R上的偶函数，对任意x属于R，都有F（2+x）=-F（x），且当x属于[0,1]时，F（x）=-x^2+1

若a[F(x)]^2-bF(x)+3=0在[-1,5]上有5个根，Xi（i=1,2,...,5),则x1+x2+x3+...+x5的值为 最好过程哈 谢谢啦

Answer 1

因为是偶函数，所以由F（2+x）=-F（x）可得出：

F（2+x）+F（x）=0

F（4+x）+F（2+x）=0

推出：F（4+x）=F（x），即F（x）是周期为4的周期函数。

因为x属於[0,1]时，F（x）=-x^2+1，

根据偶函数性质可得：x属於[-1,1]时，F（x）=-x^2+1。

由此可以画出部份函数图（如图）

观察a[F(x)]^2-bF(x)+3=0，其本身的根F（x）可能有一个或者两个解。

在F（x）的函数图上观察每个F（x）值对应X的个数。

1）F（x）=1：x有两解

2）F（x）=[0,1）：x四解

3）F（x）=（-1,0）：x两解

4）F（x）=-1：x一解

题目告诉我们x有5解，那麼可见F（x）的解对应的是上述的2和4.

那四个相同的解的和为8，一个解为2，所以最终答案为10.