Question

y‘’=1+y‘（2的平方）

求y的通解

Answer 1

令y'=p，则y''=dp/dx=dp/dy*dy/dx=pdp/dy，代入得
pdp/dy=1+p^2
d(ln(1+p^2))=d(2y)
ln(1+p^2)=2y+C1，
1+p^2=C^2e^(2y)，C^2=e^(C1)，
即dy/dx=根号(C^2e^(2y)--1)或dy/dx=--根号(C^2e^(2y)--1)
于是dy/根号(C^2e^(2y)--1)=dx或dy/根号(C^2e^(2y)--1)=--dx
即d(e^(--y))/根号(C^2--e^(--2y))=--dx或d(e^(--y))/根号(C^2--e^(--2y))=dx
故arcsin(e^(--y)/C)=--X+D或arcsin(e^(--y)/C)=X+D

Answer 2

记p＝y'，则p'=1+z^2，dz/(1+p^2)=dx，arctanp＝x+C，p＝tan(x+C)， 即y’＝tan(x+C)，y＝－ln【(cos(x+C)】+C1，其中C C1是两个不定常数。