Question

如图，在三角形ABC中AC=8,AB=6,BC=10

P为BC上一动点，PE垂直于AB,PF垂直于AC，M为EF中点，则AM的最小值为？

Answer 1

∵AC＝8、AB＝6、BC＝10，∴AC^2＋AB^2＝BC^2，∴由勾股定理的逆定理，有：
AE⊥AF，又PE⊥AE、PF⊥AF，∴四边形AEPF是矩形，∴AP、EF互相平分，
而M是EF的中点，∴M一定是AP的中点，∴AM＝AP/2。

∵P在BC上，∴由点到直线间的垂线段最短，得：当AP⊥BC时，AP最小，自然AM也最小。
当AP⊥BC时，由三角形面积公式，有：（1/2）BC×AP＝（1/2）AB×AC，
∴AP＝AB×AC/BC＝6×8/10＝24/5，∴AM＝AP/2＝12/5。
∴AM的最小值为 12/5。