Question

已知a²-a-1=0,求a^18+1/(a^6)的值,请给出详细解答

Answer 1

解：a^2-a-1=0
除以a，再移项，有：a-a^(-1)=1
平方，有：a^2+a^(-2)-2=1
所以：a^3-a^(-3) =(a-a^(-1))*(a^2+a^(-2)+1) =4
平方，有：a^6+a^(-6)=18
平方：a^12+a^(-12)=322
a^2=a+1
a^4=(a^2)^2=a^2+2a+1=(a+1)+2a+1=3a+2
a^6=a^2*a^4=(a+1)(3a+2)=3a^2+5a+2=3(a+1)+5a+2=8a+5
所以
a^18+a^(-6) ==a^6*(a^12+a^(-12))
=322*a^6*
=322*(8a+5)
=2576a+1610
由a²-a-1=0解得a=(1±√5)/2代入上式
=2898±1288√5
尽管做出来了，但怀疑你的题目漏写了一个系数，答案为有理数更好看一些

追问

1/(a^6)前少了32，你的解法应该不行了

追答

1/(a^6)前应少了323，答案如下：
a^2-a-1=0
除以a，再移项，有：a-a^(-1)=1
平方，有：a^2+a^(-2)-2=1
所以：a^3-a^(-3) =(a-a^(-1))*(a^2+a^(-2)+1) =4
平方，有：a^6+a^(-6)=18
平方：a^12+a^(-12)=322
a^18+323×a^(-6) =a^18+a^(-6)+322*a^(-6)
=a^6*(a^12+a^(-12))+322*a^(-6)
=322*a^6*+322*a^(-6)
=322*(a^6*+a^(-6))
=322*18
=5796

追问

题目是别人的，不大清楚，你做过原题？