Question

在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=AC=4,AB=BC=2√2⑴求证:平面ABC垂直平面APC⑵求直线PA

在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=AC=4,AB=BC=2√2⑴求证:平面ABC垂直平面APC⑵求直线PA与平面PBC所成角的正弦值

Answer 1

第一个问题：
取AC的中点为D。
∵PA＝PC、D∈AC且AD＝CD，∴PD⊥AC。
∵PA＝PC＝AC＝4、D∈AC且PD⊥AC，∴PD＝（√3/2）PA＝2√3。

∵AB＝BC＝2√2、AC＝4，∴AB^2＋BC^2＝AC^2，∴由勾股定理的逆定理，有：AB⊥AC，
又D∈AC且AD＝CD，∴BD＝AC/2＝2。

∵PB＝4、PD＝2√3、BD＝2，∴PD^2＋BD^2＝PB^2，∴PD⊥BD。
由PD⊥AC、PD⊥BD、AC∩BD＝D，得：PD⊥平面ABC，而PD在平面APC上，
∴平面ABC⊥平面APC。

第二个问题：
过A作AE⊥平面PBC交平面PBC于E，取BC的中点为F。
∵BD⊥AC，∴△ABC的面积＝（1/2）AC×BD＝（1/2）×4×2＝4。
∵PD⊥平面ABC，∴P－ABC的体积＝（1/3）△ABC的面积×PD＝（1/3）×4×2√3＝8√3/3。

∵PB＝PC＝4、BC＝2√2、F∈BC且BF＝CF，∴BF＝√2、PF⊥BF，
∴由勾股定理，有：PF＝√（PB^2－BF^2）＝√（16－2）＝√14。
∴△PBC的面积＝（1/2）BC×PF＝（1/2）×2√2×√14＝2√7。

∵AF⊥平面PBC，∴A－PBC的体积＝（1/3）△PBC的面积×AF＝（2√7/3）AF。
显然有：A－PBC的体积＝P－ABC的体积，∴（2√7/3）AF＝8√3/3，∴AF＝4√3/√7。
∴cos∠PAF＝AF/PA＝（4√3/√7）/4＝√3/√7，
∴sin∠PAF＝√［1－（cos∠PAF）^2］＝√（1－3/7）＝2/√7＝2√7/7。

∵AF⊥平面PBC，∴∠PAF就是PA与平面PBC所成的角，
∴PA与平面PBC所成角的正弦值是 2√7/7。