Question

ABC为三角形三个内角，满足2SinB=sinA+sinC.求B最大值

Answer 1

2sinB=sinA＋sinC，即：2b=a＋c
cosB=(a²＋c²－b²)/(2ac)=[a²＋c²－(1/4)(a＋c)²]/(2ac)
=[(3/4)a²－ac＋(3/4)c²]/(2ac)
=(3/8)(a/c)＋(3/8)(c/a)－1≥2×(3/8)－1=1/2
即：cosB≥1/2，则：0<B≤60°
所以B的最大值是B0=60°，当B=(3/4)B0=45°，
2sinB=sinA＋sinA，则：sinA＋sinC=√2，
设：M=cosA－cosC，则：
M²＋(sinA＋sinC)²=2－2cosAcosC＋2sinAsinC=2－2cos(A＋C)=2＋2cosB=2＋√2
则：M²＋2=2＋√2，所以：M²=√2，即cosA－cosC是正负四次根号下2

Answer 2

解：
【1】
由题设2sinB=sinA+sinC及正弦定理可得：
2b=a+c.
结合余弦定理可得：
cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)
=[(a+c)²-b²-2ac]/(2ac)
=(3b²-2ac)/(2ac)
=[(3b²)/(2ac)]-1
∴1+cosB=(3b²)/(2ac)
【2】
由基本不等式及2b=a+c可得：
2b=a+c≥2√(ac).
∴b²≥ac, 等号仅当a=b=c时取得。
∴(3b²)/(2ac)≥3/2.
∴1+cosB≥3/2
∴恒有cosB≥1/2.
结合0º＜B＜180º可知：0º＜B≤60º
∴(B)max=60º

Answer 3

2SinB=sinA+sinC
4sinB/2cosB/2=2cosB/2cos(A-C)/2
2sinB/2=cos(A-C)/2<=1
sinB/2<=1/2
B/2<=π/6
B<=π/3