Question

等差数列前N项和性质

若数列{an}为等差数列，共前N项和为Sn，则Sn,S2n-Sn，S3n-S2n，........也成等差数列，公差为n*d。这个性质怎么用？麻烦举个具体例子。请详细解释一下，因为我比较笨。很感谢您！

Answer 1

Sn,S2n-Sn,S3n-S2n..........成等差数列，公差为n^2*d

证明如下：

Sk=ka1+k(k-1)d/2
S2k=2ka1+2k(2k-1)d/2
S3k=3ka1+3k(3k-1)d/2

S2k-Sk=ka1+k(3k-1)d/2
S3k-S2k=ka1+k(5k-1)d/2

(S2k-Sk）-Sk=k^2*d
(S3k-S2k)-(S2k-Sk）=k^2*d

所以
等差数列依次每项k之和仍为等差数列,其公差为原公差的k^2倍,即数列Sk,S2k-Sk,S3k-S2k也为等差数列

例子如下：
设等差数列an的前n项和为sn，若s3=9，s6=36,则a7+a8+a9=?
运用以上的性质，可得：s3,s6-s3,s9-s6 成等差数列
则2(s6-s3)=s3+(s9-s6)
得到s9-s6=2s6-3s3=45
故a7+a8+a9=45

第二个例子
设等差数列前6项为2,4,6,8,10,12
则 S2, S4-S2, S6-S4 成等差数列，
S2=6，S4-S2=14，S6-S4=22，它们的公差是8，是2^2 *2，
所以
Sn,S2n-Sn,S3n-S2n..........成等差数列，公差是n^2*d，而不是n*d。

继续上面这个题，求S20-S18的值
因为S2, S4-S2, S6-S4，........是首项为S2，公差为8的等差数列
所以S20-S18=S2+8*9=6+72=78

答毕

Answer 2

Answer 3

S2n-Sn=Sn+n*d，S3n-S2n=Sn+2n*d,
所以：S2n=2Sn+n*d，S3n=S2n+Sn+2n*d=3Sn+3n*d
…………以此类推可以求Skn

追问

请您举个例子好吗？

追答

n=5时数列分别为：1 2 3 4 5， 6 7 8 9 10， 11 12 13 14 15 ，16 17 18 19 20
S2n-Sn=Sn+n*d此处d=6--1=5
S2n=2*（1+2+3+4+5）+5*5