Question

设函数f(x)＝1/3x^3-(1+a)x2+4ax+24a 讨论f(x)的单调性，并且求出f(x)的单调区间

Answer 1

设函数f(x)＝1/3x^3-(1+a)x2+4ax+24a 讨论f(x)的单调性，并且求出f(x)的单调区间
解析：∵函数f(x)＝1/3x^3-(1+a)x^2+4ax+24a
当a=0时，f(x)＝1/3x^3-x^2
令f'(x)=x²-2x==>x1=0,x2=2
f'’(x)=2x-2==> f'’(x1)<0, f'’(x2)>0
∴函数f(x)在(-∞,0)或[2,+∞)上单调增；在[0,2)上单调减；

当a>0时
令f'(x)=x^2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a)==>x1=2,x2=2a
f'’(x)=2x-2(1+a) ==> f'’(x1)=2-2a, f'’(x2)=2a-2
当0<a<1时，x2<x1, f'’(x1)>0, f'’(x2)<0
函数f(x)在x1处取极小值，在x2处取极大值;
∴函数f(x)在(-∞,2a)或[2,+∞)上单调增；在[2a,2)上单调减；
当a=1时，x2=x1, f'’(x1)=0
∴函数f(x)在定义域内单调增；
当a>1时，x1<x2, f'’(x1)<0, f'’(x2)>0
函数f(x)在x1处取极大值，在x2处取极小值;
∴函数f(x)在(-∞,2)或[2a,+∞)上单调增；在[2,2a)上单调减；

当a<0时
令f'(x)=x^2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a)==>x1=2,x2=2a
f'’(x)=2x-2(1+a) ==> f'’(x1)=2-2a, f'’(x2)=2a-2
f'’(x1)>0, f'’(x2)<0
x2<x1,函数f(x)在x1处取极小值，在x2处取极大值;
∴函数f(x)在(-∞,2a)或[2,+∞)上单调增；在[2a,2)上单调减；

综上：
当a<1时，函数f(x)在(-∞,2a)或[2,+∞)上单调增；在[2a,2)上单调减；
当a=1时，函数f(x)在定义域内单调增；
当a>1时，函数f(x)在(-∞,2)或[2a,+∞)上单调增；在[2,2a)上单调减；

Answer 2

f(x)＝1/3x^3-(1+a)x2+4ax+24a
求导
f'(x)=x²-2(1+a)x+4a
=(x-2)(x-2a)
当 2a>2 即 a>1时
在 (负无穷,2)和(2a,正无穷)上是单调递增的
在 (2,2a)上是单调递减的
当 2a=2时 a=1 在定义域R上是单调递增的
当 2a<2时 a<1
在(负无穷，2a)和(2,正无穷)上是单调递增的
在 (2a,2)上是单调递减的