Question

2011绵阳中考数学最后一大题答案

25．已知△ABC是等腰直角三角形，∠A = 90，D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD或BD的延长线，垂足为E，如图．
（1）若BD是AC的中线，求 BD/CE的值；
（2）若BD是∠ABC的角平分线，求BD/CE 的值；
（3）结合（1）、（2），试推断 BD/CE的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究BD/CE 的值能小于 1吗？若能，求出满足条件的D点的位置；若不能，说明理由．
主要是第三问，我也知道取值范围是不小于1，但怎样说明呢？

Answer 1

解：如图，设AB=AC=2，则BC=2√2.
（1）∵D是AC的中点， ∴AD=CD=1.
在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=√5.
又Rt△ABD∽Rt△ECD，所以有CE/CD=AB/BC，CE=AB*CD/BD=2/BD=2/√5.
∴BD/CE=BD/(2/BD)=BD^2/2=5/2.
（2）∵BD是∠B的平分线，∴AD/CD=AB/BC=2/（2√2）=√2/2.
(这里用了角平分线的性质，可能现行教材中没讲)
（AD+CD）/CD=（2+√2）/2，即2/CD=（2+√2）/2，CD=2（2-√2）.
AD=AC-CD=2-2(2-√2）=2(√2-1).BD^2=AD^2+AB^2=8（2-√2）.
∵Rt△ABD∽Rt△CED, ∴CE=AB*CD/BD=4(2-√2)/BD.
BD/CE=BD/{[4(2-√2)]/BD}=BD^2/[4(2-√2)]= [8(2-√2)]/ [4(2-√2)]=2.
（3）当D与A重合时，BD：CE=1，取得最小值，随着D越来越接近C，比值可以无限大，因此，比值≥1.因此，比值是可以≤4/3的。

追问

对于第三问，为什么随着D越来越接近C，比值可以无限大？如何说明？

Answer 2

这是什么题啊，做起真没意思，苦了你们学生了

Answer 3

取值范围应是在靠近A端的五等分点与A端之间

Answer 4

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