Question

高数等价无穷小问题（能不能把函数内的函数等价成无穷小）

如：当x趋向0时，求Ln（tan2x)/Ln(tan7x)的极限，请问我能否先把括号里面的等价无穷下成Ln(2x)/Ln(7x)，然后再洛比达。对于此例，答案为1是对的，我想知道是不是任意函数内的函数是否可以等价为无穷小（注意不是两函数相乘，而是函数内），如果不能，能否举个反例。能，给下理由。谢谢。注意：我问的和这种是不一样的，当x趋向0时，sin(sin2x)等价于2x，因为这种是函数从外到内，而我问的是从内到外的。不知大家能不能明白我的所问。呵呵

Answer 1

关于等价无穷小替换的问题，不要背结论，要知道原理，尤其是做对了也要知道为什么是对的，否则跟猜对的没什么区别。

对于你给的具体问题，要注意x->0+时
lim ln(tan2x)/ln(2x) = 1 + lim [ln(tan2x)-ln(2x)]/ln(2x) = 1
所以才能导致等价无穷小的替换。
当然，我认为这样的替换没什么价值，证明可以替换的难度和原问题相当，只不过是便于你使用L'Hospital法则而已，但这类问题根本不需要用L'Hospital法则就能解决。

再把你的问题抽象一下，在某个变化趋势(比如x->a)下，lim f(x)/g(x)=1，h(x)具有一定的连续性，那么是否可以保证lim h(f(x))/h(g(x))=1也成立？
一般来讲结论是不对的，给你个反例：
x->0时，f(x) = 1/x^4, g(x) = 1/x^4+1/x^2, h(x) = e^x
如果你一定要无穷小量而非无穷大量也可以，比如
x->0时，f(x) = x^2, g(x) = x^2+x^4, h(x) = e^{-1/x^2}

追问

请问x趋向0时， lim [ln(tan2x)-ln(2x)]/ln(2x) =0，是不是因为ln(tan2x/2x)/ln2x=ln1/ln2x=0/无穷，所以lim [ln(tan2x)-ln(2x)]/ln(2x) =0，我可以这么理解吗

追答

可以

Answer 2

个人认为是可以的，不好证明，只能说明一下：
在x趋于0的过程中，当f(x)与g(x)是等价无穷小，那么f(x)=g(x)+o(x)，即是说f(x)与g(x)趋于0的快慢是一样的，相差的是更高阶的无穷小，近乎于可忽略，也不影响f(x)与g(x)比较。
就是说在求复合函数极限的过程中可以用它的等价无穷小来代替它。

Answer 3

等价无穷小量，我现在也从外到内给你推导一下第一例。ln(tan2x)~tan2x -1 同理得原式为tan2x -1/tan7x -1 显然极限是1 至于从内到外虽然看似有点怪 但我觉得对 就和lzxdy 的观点相同 趋势问题 就先说这么多吧

追问

你的从外到内推导个人认为是不对的，ln(tan2x)~tan2x -1，相当于于tan2x趋向1时，ln(1+（tan2x-1）)~tan2x -1，而这里是tan2x趋向于0。

追答

嗯嗯，你说的对，不能这样用。

Answer 4

将里面的式子不是任意的都可以直接的变为无穷小的，有直接可以得的，就像tanx，sinx，而cosx就不行，需要改变形式才可以，比如1-cosx~1/2 x^2. 你的高等数学书上面没有么，当x~0时，x~sinx~tanx~arctanx~arcsinx~e^x-1~ln(1-x),特殊的还有一些，打的太累······