Question

如图：在△ABC中，∠A=60°，∠B,∠C的平分线BE，CF相交于点O。求证；OE=OF

Answer 1

在BC上截取BD＝BE，连接OD
根据角平分线的条件可得：
∠BOC＝180°－（∠OBC＋∠OCB）
＝180°－(∠ABC＋∠ACB)/2
＝180°－(180°－∠A)/2
＝180°－(180°－∠A)/2
＝180°－(180°－60°)/2
＝120°
所以∠BOE＝∠COF＝60°
根据SAS可知：△BOE≌△BOD
所以∠BOE＝∠BOD＝60°
所以∠COD＝60°
根据ASA可知：△COD≌△COF
由两组全等显然可得OF＝OD＝OE
所以OE＝OF

Answer 2

证明：
在AB上截取AG＝AE，连接OG,OA
因为三角形三条角平分线交于一点，所以OA是∠BAC的平分线，
所以∠BAO=∠CAO=30°
显然△AOE≌△AOG(SAS)
所以OE=OG,∠AGO=∠AEO,
下面证明OG=OF
由三角形内角和定理，得
∠BOC＝180°－（∠OBC＋∠OCB）
＝180°－(∠ABC＋∠ACB)/2
＝180°－(180°－∠A)/2
＝180°－(180°－∠A)/2
＝180°－(180°－60°)/2
＝120°
所以∠BOF＝∠COE＝60°
所以∠AFO＝∠ABE+∠BOF=∠ABE+60°
∠BGO=180-∠AGO=180-∠AEO=∠BEO＝∠ABE+BAE=∠ABE+∠60°
所以∠AFO=∠FGO,
所以OF=OG
所以OE＝OF