Question

如图1,已知:直线y等于2分之1x﹣2与X轴交于A，与Y交于B，抛物线y=1/2x^2+bx+c与x轴交于AC.连接BC

（1）A. B两点坐标分别为，抛物线的函数关系式为
（2）∠CBA的度数
（3）若△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）？若能，求出在AB边上的矩形顶点坐标；若不能，请说明理由

Answer 1

题目少打条件了吧？如果抛物线只过A、C两点，因为C点坐标无法求出，所以只有A点坐标可以代入，只能得到一个方程。而需求值的未知数有b、c两个，因此无法求出。
题目是否有抛物线与Y轴交于点B? 如有，解答如下：
（1）代入X=0，则Y=-2。因此B(0，-2）
代入Y=0，X/2-2=0，X=4。因此A（4，0）
将A、B坐标代入抛物线解析式：
c=-2,
8+4b-2=0,b=-3/2
抛物线解析式为：y=x²/2-3x/2-2=0
(2)代入y=0.
x1=4，x2=-1。
所以C（-1，0）
AO=4，BO=2，CO=1
所以，AO：BO=BO：CO，且∠AOB=∠BOC=90
因此，△AOB∽△BOC。∠ABO=∠BCO
因为∠BCO+∠CBO=90，所以∠ABO+∠CBO=90。即∠CBA=90
（3）RT△ABC中，根据勾股定理，AB=2√5，BC=√5
若矩形DEFG两边分别在直角边AB和BC上（DE在BC上，EF在AB上，E与B点重合）：
DG∥AB，∠CDG=∠CBA，∠CGD=∠CAB
所以△CDG∽△CBA
CD：DG=CB：CA=1：2
设CD为X，则DG=2X
DE=CE-CD=√5-X
S矩形DEFG=DE×DG=-2X²+2√5X
当X=√5/2时，矩形有最大面积5/2。
若矩形DEFG有一边在斜边AC上（假设DE在AC上）：
将BO与FG交点记做M
因为FG∥AC，简单可得△BFG∽△BAC
因为相似三角形对应高的比等于相似比，所以BM：BO=FG：AC
BM=2FG/5
设FG为X，则BM=2X/5
OM=EF=2-2X/5
S矩形DEFG=FG×OM=-2X²/5+2X
当X=5/2时，矩形有最大面积5/2
因此可以看到两种情况下，最大面积相等。
因此结果有两种，但在AB边上的矩形顶点都是AB中点，坐标为（2，-1）