Question

用数学归纳法证明1－2²+3²－4²+5²－…＋n²(-1)^n-1=(-1)^n-1(1+2+3+…+n)

Answer 1

证明:
（1）当n=1时1=(-1)^0*1,成立 即当n=1时上式成立
（2）假设当n=K（K∈N*）时上式成立即
1-2^2+3^2-4^2...+(-1)^(K-1)*K^2=(-1)^(K-1)*(1+2+3+.....+K)
则当n=K+1时
左边=1-2^2+3^2-4^2...+(-1)^(K-1)*K^2+(-1)^K*（K+1）^2
=(-1)^(K-1)*(1+2+3+.....+K)+(-1)^K*（K+1）^2
=(-1)^(k-1)* k(k+1)/2+(-1)^K*（K+1）^2
=(-1)^k*[(k+1)²- k(k+1)/2]
=(-1)^k* [(k+1)/(k+2)/2]
=(-1)^(K+1-1)*(1+2+3+.....+K+ (k+1) )

即当n=K+1时上式也成立
综上， 由（1）（2）
1-2^2+3^2-4^2...+(-1)^(n-1)*n^2=(-1)^n-1(1+2+3+…+n)

Answer 2

1. n=1时 左边=1
右边=(-1)^0*1=1 成立
2. 假设n=k时成立，即
1－2²+3²－4²+5²－…＋k²(-1)^k-1=(-1)^k-1(1+2+3+…+k)=(-1)^(k-1)*[k(k+1)/2]
n=k+1时
左边=1－2²+3²－4²+5²－…＋k²(-1)^k-1+(k+1)^2*(-1)^k
=(-1)^(k-1)*[k(k+1)/2]+(k+1)^2*(-1)^k
=(-1)^k*[(k+1)^2-k(k+1)/2]
=(-1)^k*[(k+1)(k+2)/2]
所以当n=k+1时
1－2²+3²－4²+5²－…＋k²(-1)^k-1+(k+1)^2*(-1)^k=(-1)^k*[(k+1)(k+2)/2]
=(-1)^k*(1+2+3+…+k+(k+1))
也成立
所以 1－2²+3²－4²+5²－…＋n²(-1)^n-1=(-1)^n-1(1+2+3+…+n)

Answer 3

1－2²+3²－4²+5²－…＋n²(-1)^n-1
若n为偶数，正好两个一组
原式=（1+2）（1-2）+（3+4）（3-4）+（5+6）（5-6）+......[（n-1)+n] [(n-1)-n]
=-（1+2）-（3+4）-（5+6）+........-[（n-1)+n ]
=-(1+2+3+4+5+......n-1+ n)=-n(n+1)/2
若n为奇数，两个一组，剩最后一项
原式=（1+2）（1-2）+（3+4）（3-4）+......[（n-2)+（n-1）] [(n-2)-（n-1）] + n²
=-（1+2）-（3+4）-（5+6）+........-[（n-2)+(n-1) ] +n²
=-(1+2+3+4+5+......n-2+ n-1)+n²
=-n(n-1)/2 + n² =n(n+1) /2
原式= （-1）^ (n-1) n(n+1)/2 =(-1)^n-1(1+2+3+…+n)