Question

复变函数微积分和实变函数微积分有什么区别和联系

Answer 1

一、运算不同

实变函数：以实数作为自变量的函数叫做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支。

复变其实就相当于复数的基本运算加上微积分，里面从复数的极限、连续、导数、极数再到积分，都是有的。

二、内容不同：

实变函数：是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。

复变函数：主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。

三、用途不同：

实变函数：是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。实变函数论的积分理论研究各种积分的推广方法和它们的运算规则。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数。

复变主要用于偏微分方程，再转化为实际的工程问题，在电路设计、建筑设计领域都是非常有用的。复数域里面解析整函数（相当于基本初等函数那种可导的）少，不像实数域的微积分连续可导的函数一大堆。

扩展资料：

复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场 、电路理论等方面都得到了广泛的应用。留数理论是复变函数论中一个重要的理论。

留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁。

参考资料来源：百度百科-复变函数

Answer 2

引用我之前的一个回答：复变其实就相当于复数的基本运算加上微积分，里面从复数的极限、连续、导数、极数再到积分，都是有的。大体的思想还是差不多的，比如可导推出连续。不过在复数域里还是有很多与实数域相差别的地方。比如sin x在复数域里不再是有界函数，而是可以取尽复数域的所有数。复数域里面一阶的解析（相当于可导）可以推出无限阶解析。还有复数域里面解析整函数（相当于基本初等函数那种可导的）少的可怜，不像实数域的微积分连续可导的函数一大堆。
复变主要用于偏微分方程，再转化为实际的工程问题，在电路设计、建筑设计领域都是非常有用的。你要了解复数域的微积分，看了复变就知道了