Question

如图,已知抛物线与X轴相交于点A(

如图,已知抛物线与X轴相交于点A(-2,4),B(4,0),与Y轴交于点C(0,8).(1)求抛物线的解析式及其顶点D的坐标;(2)设直线CD交X轴于点E.在线段OB的垂直平分线上是否存在点P,使得点P到直线C的距离等于点P到原点O的距离?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由;(3)过点B作X轴的垂线,交直线CD于点F,将抛物线沿其对称轴平移,使抛物线与线段EF总有公共点.试探究:抛物线向上最多可以平移多少个单位长度?向下最多可以平移多少个单位长度?

Answer 1

已知抛物线与X轴相交于点A(-2,0),B(4,0),与Y轴交于点C(0,8).
(1)求抛物线的解析式及其顶点D的坐标;
(2)设直线CD交X轴于点E.在线段OB的垂直平分线上是否存在点P,使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)过点B作X轴的垂线,交直线CD于点F,将抛物线沿其对称轴平移,使抛物线与线段EF总有公共点.试探究:抛物线向上最多可以平移多少个单位长度?向下最多可以平移多少个单位长度?
解：
(1) y=-x^2+2x+8，D(1，9)
(2) 直线CD的方程为y=x+8，则E(-8，0)
设P(2，y0)，则PC^2=2(2-y0+8)^2=2y0^2-40y0+200，PO^2=4+y0^2
当PC=PO时，可解出y0的值为20-2√51
(3) 当抛物线y=-x^2+2x+b与直线CD只有一个公共点时，
由x+8=-x^2+2x+b可得(x-1/2)^2=b-8+1/4=0，则b=31/4
此时抛物线比原来下移了1/4单位长度；
F(4，12)
当抛物线y=-x^2+2x+b与直线CD有两个公共点时，
由x+8=-x^2+2x+b可得两个交点坐标x1=1/2+√(b-31/4)，x2=1/2-√(b-31/4)，
且x1≤4，x2≥-8，解之得b≤20
当b=20时，抛物线比原来上移了12单位长度，方程为y=-x^2+2x+20
验证：抛物线y=-x^2+2x+20与直线y=x+8的交点为(-3，5)和(4，12)
结论：最多可上移12单位，最多可下移1/4单位

Answer 2

已知抛物线与X轴相交于点A(-2,0),B(4,0),与Y轴交于点C(0,8).
(1)求抛物线的解析式及其顶点D的坐标;
(2)设直线CD交X轴于点E.在线段OB的垂直平分线上是否存在点P,使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)过点B作X轴的垂线,交直线CD于点F,将抛物线沿其对称轴平移,使抛物线与线段EF总有公共点.试探究:抛物线向上最多可以平移多少个单位长度?向下最多可以平移多少个单位长度?
解：
(1) y=-x^2+2x+8，D(1，9)
(2) 直线CD的方程为y=x+8，则E(-8，0)
设P(2，y0)，则PC^2=2(2-y0+8)^2=2y0^2-40y0+200，PO^2=4+y0^2
当PC=PO时，可解出y0的值为20-2√51
(3) 当抛物线y=-x^2+2x+b与直线CD只有一个公共点时，
由x+8=-x^2+2x+b可得(x-1/2)^2=b-8+1/4=0，则b=31/4
此时抛物线比原来下移了1/4单位长度；
F(4，12)
当抛物线y=-x^2+2x+b与直线CD有两个公共点时，
由x+8=-x^2+2x+b可得两个交点坐标x1=1/2+√(b-31/4)，x2=1/2-√(b-31/4)，
且x1≤4，x2≥-8，解之得b≤20
当b=20时，抛物线比原来上移了12单位长度，方程为y=-x^2+2x+20
验证：抛物线y=-x^2+2x+20与直线y=x+8的交点为(-3，5)和(4，12)
结论：最多可上移12单位，最多可下移1/4单位