Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a b c，设向量m＝（a，1/2）.n=（cosC，c...

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a b c，设向量m＝（a，1/2）.n=（cosC，c-2b），且m⊥n
①求角A的大小②若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围
急！要过程

Answer 1

向量m=(a, 1/2), n=(cosC, c-2b)
由题设可知m*n=0
即：acosC+[(c-2b)/2]=0
∴2acosC+c-2b=0
结合余弦定理可得：
（2a)[(a²+b²-c²)/(2ab)=2b-c
整理可得：
a²+b²-c²=2b²-bc
∴b²+c²-a²=bc
∴(b²+c²-a²)/(2bc)=1/2
结合余弦定理可得：
cosA=(b²+c²-a²)/(2bc)=1/2
结合0º＜A＜180º.可知：
A=60º.

若a=1,根据余弦定理可得：
a^2=b^2+c^2-2bc cosA,
A=60 º,
所以1=b^2+c^2-bc，
1=(b+c)^2-3bc,
因为bc>0,所以(b+c)^2>1, b+c>1, 周长l=a+b+c>2.
因为bc<=[(b+c) /2]^2,
所以-3bc>=-3(b+c) ^2 /4,
从而1=(b+c)^2-3bc>=(b+c)^2-3(b+c) ^2 /4,
即1>=(b+c) ^2 /4,
所以b+c<=2,
从而周长l=a+b+c <=3,

综上可知2<l<=3.