Question

一道复变函数题，积分问题，请大家指教！

由下列已知调和函数求解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)。并写成关于z的表达式
v(x,y)=arctan(y/x)，x＞0。
解：v(x,y)=arctan(y/x)，x＞0.
∂u/∂v=∂v/∂y=x(x^2+y^2)
由此得u(x,y)=∫xdx/(x^2+y^2)=1/2ln[(x^2+y^2)/y^2]+c(y)
c(y)为y的任一可导函数。
又由∂u/∂y=-∂v/∂x得-x^2/[y(x^2+y^2)]+c'(y)=y/(x^2+y^2)
c'(y)=1/y c(y)=ln|y|+c
代入u(x,y)表达式得
u(x,y)=ln√(x^2+y^2)+c
于是满足条件的解析函数为f(z)=(ln√(x^2+y^2)+c)+iarctan(y/x),x＞0
注意当x＞0时，argz=arctan(y/x)
所以f(z)=ln|z|+iargz+c c为任一实数

就这步由此得u(x,y)=∫xdx/(x^2+y^2)=1/2ln[(x^2+y^2)/y^2]+c(y)
没那分母的y^2还算不出最后答案了，可分母的y^2从哪来的啊，高数学的积分没这样积的！就是1/2ln(x^2+y^2)+c(y)
为什么啊？

Answer 1

没有分母的y^2更容易，明显上面的做法使得问题复杂了。
au/ax=x/(x^2+y^2)，则u＝0.5ln(x^2+y^2)+c(y)，
再由au/ay=－av/ax，得c'(y)=0，因此c(y)=C。C是常数。
故u＝0.5ln(x^2+y^2)+C。