Question

数列数列求通项公式？

已知数列｛an｝中各项均为正数，Sn是数列｛an｝的前n项和，且Sn＝½（an^2＋an）

Answer 1

S1=a1=(a1^2+a1)/2
整理，得
a1^2-a1=0
a1(a1-1)=0
a1=0(数列各项均为正数，舍去)或a1=1
Sn=(an^2+an)/2
Sn-1=[a(n-1)^2+a(n-1)]/2
an=Sn-Sn-1=(an^2+an)/2-[a(n-1)^2+a(n-1)]/2
整理，得
an^2-a(n-1)^2-an-a(n-1)=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)]-[an+a(n-1)]=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)-1]=0
数列各项均为正数，an+a(n-1)>0，要等式成立，则an-a(n-1)=1
数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列。
数列{an}的通项公式为an=n，前n项和Sn=1+2+...+n=n(n+1)/2。

Answer 2

先转换成An=2Sn^2/[(2Sn)-1]
后转换成An+2SnS(n-1)=0
n>=2时
An=Sn-S(n-1)
Sn-S(n-1)+2SnS(n-1)=0
两边除以SnS(n-1)
1/S(n-1)-1/Sn+2=0
1/Sn-1/S(n-1)=2
{1/Sn}是公差为2的等差数列
1/S1=1/A1=2
1/Sn=2n
Sn=1/(2n)
An=Sn-S(n-1)=1/(2n)-1/(2n-2)=-1/(2n(n-1))
A1=1/2