Question

、如图，已知在四边形ABCD中，∠B=∠D=90度，AE、CF分别是∠DAB及∠DCB的平分线．

1、AE与FC有什么关系
2、若将条件“∠B=∠D=90度”换成“∠B=∠D”，其他条件不变，AE与CF的这种关系是否还成立？

Answer 1

1、AE∥FC
证明：
∵∠BAD+∠B+∠BCD+∠D＝360, ∠B＝∠D＝90
∴∠BAD+∠BCD＝360-（∠B+∠D）＝180
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE＝∠BAD/2
∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝90+∠BAD/2
∵CF平分∠BCD
∴∠BCF＝∠BCD/2
∴∠AEC+∠BCF＝90+∠BAD/2+∠BCD/2＝90+（∠BAD+∠BCD）/2＝90+90＝180
∴AE∥FC （同旁内角互补，两直线平行）
2、成立
证明：
∵∠BAD+∠B+∠BCD+∠D＝360
∴∠BAD+∠BCD＝360-（∠B+∠D）
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE＝∠BAD/2
∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠B +∠BAD/2
∵CF平分∠BCD
∴∠BCF＝∠BCD/2
∴∠AEC+∠BCF＝∠B +∠BAD/2+∠BCD/2
＝∠B +（∠BAD+∠BCD）/2
＝∠B +[360-（∠B+∠D）]/2
＝∠B+180-（∠B+∠D）/2
＝180+（∠B-∠D）/2
∵∠B＝∠D
∴∠AEC+∠BCF＝180
∴AE∥FC （同旁内角互补，两直线平行）

Answer 2

1、AE∥FC
证明：
∵∠BAD+∠B+∠BCD+∠D＝360, ∠B＝∠D＝90
∴∠BAD+∠BCD＝360-（∠B+∠D）＝180
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE＝∠BAD/2
∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝90+∠BAD/2
∵CF平分∠BCD
∴∠BCF＝∠BCD/2
∴∠AEC+∠BCF＝90+∠BAD/2+∠BCD/2＝90+（∠BAD+∠BCD）/2＝90+90＝180
∴AE∥FC （同旁内角互补，两直线平行）
2、成立
证明：
∵∠BAD+∠B+∠BCD+∠D＝360
∴∠BAD+∠BCD＝360-（∠B+∠D）
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE＝∠BAD/2
∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠B +∠BAD/2
∵CF平分∠BCD
∴∠BCF＝∠BCD/2
∴∠AEC+∠BCF＝∠B +∠BAD/2+∠BCD/2
＝∠B +（∠BAD+∠BCD）/2
＝∠B +[360-（∠B+∠D）]/2
＝∠B+180-（∠B+∠D）/2
＝180+（∠B-∠D）/2
∵∠B＝∠D
∴∠AEC+∠BCF＝180
∴AE∥FC （同旁内角互补，两直线平行）

Answer 3

令AE与CD（或DC的延长线）的交点为G。
∵∠B＋∠D＝180°，∴A、B、C、D共圆，∴∠BAD＋∠BCD＝180°。
又∠DAG＝∠BAD/2、∠DCF＝∠BCD/2，∴∠DAG＋∠DCF＝90°。
而在Rt△ADG中，显然有：∠DAG＋∠DEA＝90°，∴∠DAE＝∠DCF，∴AG∥FC，
即：AE∥FC。