Question

在四边形ABCD中，角A＝120度，角ABC＝90度，AB＝3，BD＝7，BC＝5倍的根号3，求CD长

初二及以下知识

Answer 1

过D作DE⊥BA交BA的延长线于E，作DF⊥BC交BC于F。
∵∠BAD＝120°，∴∠DAE＝60°，又DE⊥AE，∴DE＝√3AE。
由勾股定理，有：BE^2＋DE^2＝BD^2，∴（AB＋AE）^2＋（√3AE）^2＝49，
∴（3＋AE）^2＋3AE^2＝49，∴9＋6AE＋AE^2＋3AE^2－49＝0，
∴4AE^2＋6AE－40＝0，∴2AE^2＋3AE－20＝0，∴（2AE－5）（AE＋4）＝0，∴AE＝5/2。
∴DE＝√3AE＝（5/2）√3。

∵DE⊥BE、BE⊥BF、DF⊥BF，∴BFDE是矩形，∴BF＝DE＝（5/2）√3。
∴CF＝BC－BF＝5√3－（5/2）√3＝（5/2）√3，∴BF＝CF＝（5/2）√3。
∵DF⊥BC、BF＝CF，∴CD＝BD＝7。

Answer 2

CD=7。
在三角形ABD中，角A＝120度，AB＝3，BD＝7，根据公式：BD^2=AB^2+AD^2-2AB*AD*cosA
可计算得AD=5；同样可根据公式AD^2=AB^2+BD^2--2AB*BD*cos∠ABD
，计算得cos∠ABD=11/14,因（sin∠ABD）^2+(cos∠ABD)^2=1
可算的sin∠ABD=5√3/14, ∵角ABC＝90度 cosDBC=sin∠ABD=5√3/14
根据CD^2=BD^2+BC^2-2BD*BC*cosDBC 计算得CD=7