Question

求解一道高一数列数学题

已知an=(1/n+1)+(2/n+1)+~~+(n/n+1)，bn=2/an*an+1。求bn的前n项和

Answer 1

题目是1/(n+1)、2/(n+1)吗？如果是：
an=(1+2+...+n)/(n+1)=n(n+1)/[2(n+1)]=n/2
bn=2/[ana(n+1)]=2/[(n/2)(n+1)/2]=8/[n(n+1)]=8[1/n-1/(n+1)]
Sn=b1+b2+...+bn
=8[1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/(n+1)]
=8[1-1/(n+1)]
=8n/(n+1)
如果分母都是n，分子是1到n，分式 后面再加1：
an=(1/n +1)(2/n +1)+...+(n/n +1)=(1+2+...+n)/n +n=n(n+1)/(2n)+ n=(3n+1)/2
bn=2/[ana(n+1)]=2/[(3n+1)/2 (3n+4)/2]=8/[(3n+1)(3n+4)]=(8/3)[1/(3n+1)-1/(3n+4)]
Sn=b1+b2+...+bn
=(8/3)[1/4-1/7+1/7-1/10+...+1/(3n+1)-1/(3n+4)]
=(8/3)[1/4-1/(3n+4)]
=(8/3)(3n)/[4(3n+4)]
=2n/(3n+4)

Answer 2

用拆项相消法
an=(3n+1)/2
bn=8/(3n+1)(3n+4)=8/3*[1/（3n+1）-1/（3n+4）]

Answer 3

an=(1+2+...+n)/(n+1)=n(n+1)/[2(n+1)]=n/2
bn=2/[ana(n+1)]=2/[(n/2)(n+1)/2]=8/[n(n+1)]=8[1/n-1/(n+1)]
Sn=b1+b2+...+bn
=8[1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/(n+1)]
=8[1-1/(n+1)]
=8n/(n+1)
如果分母都是n，分子是1到n，分式 后面再加1：
an=(1/n +1)(2/n +1)+...+(n/n +1)=(1+2+...+n)/n +n=n(n+1)/(2n)+ n=(3n+1)/2
bn=2/[ana(n+1)]=2/[(3n+1)/2 (3n+4)/2]=8/[(3n+1)(3n+4)]=(8/3)[1/(3n+1)-1/(3n+4)]
Sn=b1+b2+...+bn
=(8/3)[1/4-1/7+1/7-1/10+...+1/(3n+1)-1/(3n+4)]
=(8/3)[1/4-1/(3n+4)]
=(8/3)(3n)/[4(3n+4)]
=2n/(3n+4)