Question

如图，已知：AB∥CD，求证：∠B＋∠D＋∠BED=360°

。

Answer 1

证明：（1）连接BD，
∵AB∥CD（已知），
∴∠ABD+∠CDB=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠1+∠2+∠BED=180°（三角形内角和为180°），
∴∠ABD+∠1+∠CDB+∠2+∠BED=360°，
即∠ABE+∠CDE+∠BED=360°．

（2）延长DE交AB延长线于F，
∵AB∥CD（已知），
∴∠F+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠ABE=∠FEB+∠F，
∠BED=∠FBE+∠F（三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∴∠ABE+∠CDE+∠BED
=∠FEB+∠F+∠CDE+∠FBE+∠F
=180°+180°
=360°．

（3）过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
∴∠B+∠BEF=180°
∠D+∠DEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠B+∠BEF+∠D+∠DEF
=180°+180°
=360°．

Answer 2

证明：（1）连接BD，如图，
∵AB‖CD（已知），
∴∠ABD+∠CDB=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠1+∠2+∠BED=180°（三角形内角和为180°），
∴∠ABD+∠1+∠CDB+∠2+∠BED=360°，
即∠ABE+∠CDE+∠BED=360°．

（2）延长DE交AB延长线于F，如图
∵AB‖CD（已知），
∴∠F+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠ABE=∠FEB+∠F，
∠BED=∠FBE+∠F（三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∴∠ABE+∠CDE+∠BED
=∠FEB+∠F+∠CDE+∠FBE+∠F
=180°+180°
=360°．

（3）过点E作EF‖AB，如图
∵AB‖CD，
∴AB‖EF‖CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
∴∠B+∠BEF=180°
∠D+∠DEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠B+∠BEF+∠D+∠DEF
=180°+180°
=360°．

Answer 3

作EF∥AB
因为AB∥CD
所以AB∥CD∥EF
所以∠ABE+∠BEF=180°
∠CDE+∠DEF=180°
所以∠ABE+∠BEF+∠CDE+∠DEF=360°
即∠ABE+∠BED+∠CED=360°

Answer 4

证明方法较多，举例一个：连接AB，因为AB平行于CD,
所以角ABD+角CDB=180度 （两直线平行，同旁内角互补）
因为角EBD+角E+角EDB=180度 （三角形内角和定理）
所以角ABD+角CDB+角EBD+角E+角EDB=360度
即：∠B＋∠D＋∠BED=360°