Question

已知二次函数y=ax2+bx+的图像经过A(-1,0)、点B(3,0),与Y轴交于点C(0,-3)

已知二次函数y=ax2+bx+的图像经过A(-1,0)、点B(3,0),与Y轴交于点C(0,-3)
（1）求二次函数解析式
（2）直线y=kx+b经过C点和抛物线顶点M，求一次函数解析式
（3）点N是抛物线对称轴上的一点，若以点N为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CM相切，求出N的坐标
第三问详细点，最好配张图

Answer 1

（1）由已知得二次函数过A,B两点，这说明ax^2+bx+c=0的两个解是1,3
所以由韦达定理可知：-1+3=-b/a, (-1)*3=c/a
而此二次函数过点c(0,-3), 所以c=-3
从而a=1, b=-2.
所以二次函数的解析式是: y=x^2-2x-3.
（2） 由于直线y=kx+b经过C点，因此b=-3,
而抛物线的顶点M(1,-4), 所以当x=1时，y=-4, 即k-3=-4,
解得k=-1, 所以一次函数的解析式是：y=-x-3
(3) 由于抛物线的对称轴是：x=-b/(2a)=1, 所以可设N(1,y0).
因此可设圆N的方程是：（x-1)^2+(y-y0)^2=r^2
过N作NP垂直于x轴于P， 则由圆的性质可知NP^2=r^2-4
即y^2=r^2-4
由于圆N与直线CM相切，所以圆心到CM的距离等于r .
直线CM的方程是：y=-7x+3,
所以圆心N的直线的矩离就是：r=|-7*1-y0+3|/sqrt(50)
解得y0=-3/2, r^2=25/4
所以N(1,-3/2).