Question

如图,正方形ABCD中,点E是BC边上的中点,F是CD上的一点,且DC=4CF

（1）求证：△ABE相似于△ECF。
（2）求证：EF垂直于AE。
（3）连接AF，求证：△ABE相似于△AEF

Answer 1

令正方形边长为a，
（1） 因为AB=a, BE=EC=(1/2)a, FC=(1/4)a, 所以EC：FC=2=AB:BE
又因为∠C=∠B=90°，所以△ABE相似于△ECF
（2） 因直角△ABE相似于直角△ECF，可得∠AEB=∠EFC，而∠EFC+∠FEC=90°
所以∠EFC+∠AEB =90°，所以∠AEF=180°-（∠EFC+∠AEB）=90°，所以EF垂直于AE
（3） AE=√（AB²+BE²）=√〔a²+(a/2）²〕=(√5)a/2,
EF=√（EC²+FC²〕=√〔(a/2)²+(a/4）²〕=(√5)a/4
所以，AE:EF=2=AB：BE
又∠B=∠AEF=90°，所以△ABE相似于△AEF

Answer 2

（1）∵E是AB中点，∴AB=2BE=2CE，又CD=4CF，∴BE=CE=2CD，
∵∠B=∠C=Rt∠，AB：BE=EC：CF=2：1，∴△ABE∽△ECF。
（2）由（1）得：△ABE∽△ECF，∴∠BAE=∠CEF，∵∠BAE+∠AEB=Rt∠, ∴∠AEB+∠CEF=Rt∠,因此EF⊥AE。
（3）由（1）知；△ABE∽△ECF，∴AE：EF=AB：EC=2：1
由（2）知：∠AEF=∠B=Rt∠, ∴△ABE∽△AEF

Answer 3

证明：（1）.设CF=a，则CD=4a，DF=3a，AD=AB=BC=4a,BE=CE=2a.
在△ABE和△ECF中，AB:EC=BE:CF=2:1，∠B=∠C=90°，
∴△ABE相似于△ECF。
（2）连接AF.
在△ABE中，AE²=AB²+BE²=16a²+4a²=20a²
在△ECF中，EF²=EC²+CF²=4a²+a²=5a²
在△ADF中,AF²=AD²+DF²=16a²+9a²=25a²
在△AEF中，AF²=AE²+EF²,
∴△AEF是直角三角形，且∠AEF是直角，即EF⊥AE
(3)由第前2题可知：AB=4a，BE=2a，AE=2√5a，EF=√5a。
AB:BE=(4a）：（2a）=2:1
AE：EF=（2√5a）：（√5a）=2:1
∠B=∠AEF=90°，
∴△ABE∽△AEF