Question

已知函数f(x)=x+1 x<0 -x-1 x≥0，则不等式x（x+1)f(x-1)小于等于3的解集

Answer 1

已知函数f(x)=x+1，当 x<0 时；f(x)=-x-1，当 x≥0时；则不等式x(x+1)f(x-1)≦3的解集
解：当x<0时f(x-1)=(x-1)+1=x，此时x(x+1)f(x-1)=x²(x+1)≦3............(1)
当x<-1时，x+1<0，故x²(x+1)<0<3，即(1)成立；当x=-1时，x+1=0，于是x²(x+1)=0<3成立；
当-1<x<0时，0<x²<1，0<x+1<1，故0<x²(x+1)<1<3成立；故对任何x<0，不等式(1)恒成立；
当x≥0时，f(x-1)=-(x-1)-1=-x，此时x(x+1)f(x-1)=-x²(x+1)≦3..............(2)
当x=0时(2)的左边=0<3，即(2)成立；当x>0时，-x²(x+1)<0<3，即(2)成立；故对任何x≥0，不
等式(2)恒成立。
∴原不等式的解为全体实数。

Answer 2

解：分类讨论如下
当x>=1时x-1>=0
所以x（x+1)f(x-1)=-x^2(x+1)<0<3在x>=1时是成立的
当x<1时x（x+1)f(x-1)=x^2(x+1）
下面讨论x^2(x+1）的取值
当x<=-1时x^2(x+1）<=0<3成立
当-1<x<1时 x^2 <1 , (x+1)<2
所以x^2(x+1）<2<3成立
综上不等式x（x+1)f(x-1)小于等于3的解集为实数集
谢谢

Answer 3

xc