Question

已知函数f（x）=（alnx）/(x+1)+b/x,曲线y=f（x）在点（1，f（x））处的切线方程为x+2y-3=0.<1>求a，b的值<

已知函数f（x）=（alnx）/(x+1)+b/x,曲线y=f（x）在点（1，f（x））处的切线方程为x+2y-3=0.<1>求a，b的值<2>如果当x>0,且x不等于1，f（x）（lnx）/(x-1)+k/x,求k的取值范围

Answer 1

（1）
切线方程变形为 y=(-1/2)(x-1)+1
可见斜率k=-1/2, f(1)=1
f'(x)=[a(x+1)/x-alnx]/(x+1)^2-b/x^2
已知k=f'(1)=(2a)/4-b=-1/2 即a-2b=-1 (1)
f(1)=b=1
代入(1)得 a=1

（2）
解：f(1)=b,
由题，x+2y-3=0过点(1,b)
代入解得b=1
相切，有f'(a)=a/2-b=a/2-1=-1/2
解得a=1
故f(x)=lnx/(x+1) +1/x
x>0且x≠1时，f(x)＞lnx/(x-1) + k/x
整理得
k<1-2xlnx/(x-1)(x+1)在x>0且x≠1时恒成立
设h(x)=xlnx/(x-1)(x+1),原问题等价于求h(x))在x>0且x≠1上最大值
h'(x)=[-x²lnx-lnx+x²-1]/(x²-1)²
令g(x)=-x²lnx-lnx+x²-1
g'(x)=2x-2xlnx-x-1/x
g"(x)=1/x²-2lnx-1
g'"(x)=-2/x³-2/x<0
故g"在定义域内↓，g"(1)=1-1=0
0<x<1,g">0.g'↑；1<x，g"<0,g'↓
g'(x)<g'(1)=0,故g(x)在定义域内↓,g(1)=1-1=0
0<x<1,g>0.h'>0,h↑；1<x，g<0,h<0,h↓
h(x)<h(1)=lim(x→1)xlnx/(x-1)(x+1)=1/2
从而1-h(x)>1/2
于是k的取值范围是（-∞，1/2）

Answer 2

依据切线方程知 x=1时， y= f(x) = 1 , y' = f'(1)= -1/2;
所以 f(1) = b = 1
则 f(x) = aln(x)/(x+1)+1/x
f'(x) = [a(x+1)/x-aln(x)]/(x+1)^2-1/x^2
f'(1) = a/2 - 1= -1/2
则 a = 1; b =1;

Answer 3

y=f(x), 代入切线方程 x+2y-3=0 中，即 x+2f(x)-3=0
点（1，f(x)),在此直线上， 代入以上方程， 可得 1+2f(1)-3=0, 得f（1）=1
将f(1)=1,代入函数， 得 1=(aln1)/(1+1)+b/1, 可得b=1