Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M是AD上的一动点，N、E、F分别是BC、BM、CM的中点。

（1）求证：四边形MENF是平行四边形；
（2）当M是AD的中点时，四边形MENF是什么图形？请证明你的结论。
（3）连接M、N，当四边形MENF是正方形时，线段MN与BC有什么数量关系？请说明你的理由。

Answer 1

(1)证明：F、N是MC、BC的中点，根据三角形中线定理，知道FN∥BM;
同样的方法知道：EN∥MC。
根据平行四边形定义，就知道四边形MENF是平行四边形；
（2）当M是AD的中点时，△ABM≡△DCM。于是MB=MC
根据 三角形中线定理知道FN=1/2MB，
同理知道EN=1/2MC.
所以知道了FN=EN.
第一题知道是平行四边形，加上FN=EN.，两邻边相等，四边形MENF就是棱形了。
（3）MN=BC
正方形MENF里，MN=2√2EN。
MB=MC,角BMC=90°，我们可以知道角MBC=45°
△BEN就是等腰直角三角形了, 所以MN=√2EN。所以BC=2MN=2√2EN。
所以MN=BC

Answer 2

1.∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点
∴NE是△BCM的中位线
∴NE∥CM，且NE=CM/2=FM
∴四边形MENF是平行四边形
2.菱形
∵ABCD是等腰梯形
∴∠A=∠D，AB=DC
又AM=DM
∴△ABM≌△DCM(SAS)
∴BM=CM
∴ME=EN=NF=FM
∴四边形MENF是菱形
3.∵四边形MENF是正方形
∴∠EMF=90°
∴△MBC是等腰直角三角形
∴MN=BC/2