三角形ABC,∠BAC=120°,AB=AC=2,D在BC上,向量AD*向量BC=0,向量CE=2向量EB,求向量AD*向量AE

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飘渺的绿梦
2012-04-11 · TA获得超过3.5万个赞
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∵向量AD·向量BC=0,∴AD⊥BC,又AB=AC=2,∴BD=CD。
∵∠BAC=120°、AB=AC,∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)/2=(180°-120°)/2=30°。
∴AD=1、BD=CD=√3。

∵向量CE=2向量EB,∴CE=2EB,∴ED+CD=2(BD-ED)=2BD-2ED,
∴3ED=2BD-CD=2√3-√3=√3,∴ED=√3/3。

由勾股定理,有:AE=√(AD^2+ED^2)=√(1+1/3)=2/√3。
而cos∠DAE=AD/AE=1/(2/√3)=√3/2。
又cos∠DAE=向量AD·向量AE/(|向量AE||向量AD|)=向量AD·向量AE/(AE×AD),
∴向量AD·向量AE/(AE×AD)=√3/2,
∴向量AD·向量AE=(√3/2)AE×AD=(√3/2)×(2/√3)×1=1。
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