Question

如图，在等边△ABC中，AC=6，点O在AC上，且AO=2，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°

（1）当点D恰好落在BC上时，求点P运动的距离；
（2）当BP=4时，
①连接PD，试判断四边形APDO是何种特殊的四边形，并证明你得结论；
②求点D到BC的距离。

Answer 1

：∵在等边△ABC中，AC=6，点O在AC上，且AO=2，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，使点D恰好落在BC上，
∴DO⊥BC时，符合要求，
∴∠C=60°，CO=4，∠COD=30°，
∴CD=2，
∵AO=2，OP=OD，
∴△AOP≌△CDO，
∴AP=CO=4
（2）把抛物线的解析式变为：y = （x -- 1）（x + 3）
令（x -- 1）（x + 3）= 0 得抛物线与x轴的另一交点C坐标为：（--3 ， 0）
把把抛物线的解析式变为：y =（x + 1）2 -- 4
知 抛物线de对称轴为 x = -- 1， 最小值为 -- 4，顶点坐标为：N （--1， -- 4）。

∵ C坐标为（--3， 0）、B坐标为（ 0， --3）
∴ △OBC是等腰直角三角形，且斜边BC=3√2， 则BC的平方= 18。

∵ N坐标为（--1， -- 4）、B坐标为（ 0， --3），作NH ⊥ y轴于H，
则 △BNH 是等腰直角三角形，且斜边BN=√2， 则BN的平方= 2。

设 对称轴 x = -- 1 与 x轴交于点M，则MC=2，MN=4.
在Rt△MCN 中，NC的平方 = MC的平方 + MN的平方
∴ NC 的平方 = 20

又 ∵ BC的平方 + BN的平方 = 18 + 2 = 20
∴ BC的平方 + BN的平方 = NC 的平方
∴ △BCN 是Rt△，且是以点B为直角顶点的直角三角形。
∴满足题意的 点P的位置应在点N处，此时点P的坐标为（-- 1， -- 4）.。

（3）在（2）的条件下，在抛物线上存在一点Q，使以P,Q,B,C为顶点的四边形为直角梯形，满足题意的点Q坐标为（-- 2， -- 3）。

我们知道，两直线 y1 = k1 x + b1 与 y2 = k2 x + b2 平行的时候，k1 = k2。
∵C坐标为（--3， 0）、B坐标为（ 0， --3）
∴ 易求得 直线BC的解析式为：y = -- x -- 3。
过P（-- 1， -- 4）作 直线BC的平行线并设其解析式为y = -- x + b
求直线BC 与 抛物线 的交点，
需联立方程组y = -- x + b
y = x2 + 2x -- 3

解得： x = -- 2 ，y = -- 3 （另一组解x= --1，y= -- 4 表示P点坐标）
∴满足题意的点Q坐标为（-- 2， -- 3）。

注：第三问，题目让求作“直角梯形”，注意从∠CBP = 90° 进行突围！
第三问，满足题意的点Q 只有以上一种情形。

Answer 2

（1）当0p=od时因为角dop=60所以三角形opd为等边三角形所以oa=pb=2
(2)要断电没时间了不好意思，，，

追问

要过程，第二题