Question

多元函数的偏导数问题

要过程，急
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Answer 1

对于某一指定的y0，对应的函数f（x，y0），应满足题设关系，其中df/dy=0（偏导数符号不好打，用d代替，f（x，y0）是x的一元函数，当x不变时，函数值不变，故函数对变量y的偏导数为零），从而有x df/dx =0，其中x任意值下均成立，故必有df/dx 恒等于零（对于任意指定的y0均成立）。同理对函数f(x0, y)应用题设条件，可知df/dy也恒等于零。对于函数f(x, y)，其全微分df=df/dx dx +df/dy dy恒等于零。该式对于任意x，y均成立，说明当x，y变化时，函数f(x, y)不会变化。即f(x, y)在整个定义域内恒为常数。

如有不明欢迎追问

Answer 2

对任意固定点（x，y），令g(t)=f(tx，ty)，则g(t)是可微函数，且g'(t)=x*af/ax(tx，ty)+y*af/ay(tx，ty)=【tx*af/ax(tx，ty)+ty*af/ay(tx，ty)】/t=0，t不等于0时。当t=0时，
按定义g'(0)=lim 【f(tx，ty)--f(0,0)】/t=lim 【tx*af/ax(0，0)+ty*af/ay(0,0)+小o(t)】/t=0，第一个等号是微分定义，因此总有g'(t)=0，故g(t)=g(0)=f(0,0)。
上式表明在过原点的直线上任一点的函数值=原点的函数值。因此f是常数。