Question

设三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别为a，b，c若A=π/3，a=根号3，则b^2+c^2的取值范围

如上 ：答案是（3,6】

Answer 1

b²+c²-2bccosa=a²
b²+c²-bc=3
因为b²+c²>=2bc
所以b²+c²-(b²+c²)/2<=3
(b²+c²)/2<=3
b²+c²<=6
因为 b,c>0
所以 b²+c²-bc>3
b²+c²>bc+3>3
所以b²+c²∈ (3,6]

追问

因为 b,c>0
所以 b²+c²-bc>3
b²+c²>bc+3>3
所以b²+c²∈ (3,6] 不懂啊？？

追答

b²+c²-bc>3
b²+c²>bc+3
因为 a,b,c是三角形的边长 所以a,b,c均>0
所以 b²+c²>0+3>3
前面算出来 b²+c²<=6
所以 b²+c²∈(3,6]

追问

b²+c²-bc>3
哪里得来
？

追答

余弦定理 a=根号下3 cosa=cosπ/3=1/2
a²=b²+c²-2bccosa
3=b²+c²-bc
b²+c²=bc+3>0+3>3 (bc>0)
b²+c²-bc=3应该是=号 sorry 写错了

Answer 2

a/sinA=b/sinB=c/sinC，则：
b²＋c²=[(sinB/sinA)²＋(sinC/sinA)²]a²
=4(sin²B＋sin²C)
=2[(1－cos2B)＋(1－cos2C)]
=4－2(cos2B＋cos2C)
=4－4cos(B＋C)cos(B－C)
=4＋2cos(B－C)
因为B＋C=2π/3，则：－2π/3<B－C<2π/3，则：－1/2<cos(B－C)≤1，则：
b²＋C²∈(3，6]

Answer 3

b²+c²==a²+2bccosA
=3+2bc*0.5
=3+bc
bc>0,
b²+c²>=2bc
3+bc>=2bc
0<bc<=3
所以（3,6】