Question

已知,在RT三角形ABC中,角ACB=90度,BC=6,AC=8,过点A作直线MN垂直于AC,点E是直线MN上的一个动点. (1)如果点E

1、已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，过点A作直线MN⊥AC，点E是直线MN上的一个动点， （1）如图1，如果点E是射线AM上的一个动点（不与点A重合），连接CE交AB于点P．若AE为x，AP为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； （2）在射线AM上是否存在一点E，使以点E、A、P组成的三角形与△ABC相似，若存在求AE的长，若不存在，请说明理由； （3）如图2，过点B作BD⊥MN，垂足为D，以点C为圆心，若以AC为半径的⊙C与以ED为半径的⊙E相切，求⊙E的半径．

Answer 1

1)由勾股定理得：AB=10
因为 ∠ACB=90度,MN⊥AC
所以MN∥BC
所以△ APE∽△PCB
所以AE:BC=AP:BP
即x:6=y:(10-y)
y=10x/(6+x),其中x＞0
2）若以点E,A,P组成的三角形与三角形ABC相似，只有∠APE=90度
即CP⊥AB
此时根据面积法可求：CP=6*8/10=4.8
所以AP=6.4
将Y=6.4带入y=10x/(6+x),，得x=32/3
即AE=32/3

Answer 2

（1）∵AC=8，BC=6，∠ACB=90°
∴AB=√(6²+8²)=10
∵AE⊥AC，BC⊥AC
∴AE∥BC
∴△APE∽△BPC
∴AE/BC=AP/BP
即x/6=y/(10-y)
∴6y=10x-xy，求得y=10x/(x+6)，其中x>0
（2）若△EAP∽△ABC
∵∠EAP=∠B，∴只需EP⊥AB
此时，AE/AB=AP/BC
即x/10=y/6，5y=3x
也即50x/(x+6)=3x，解得x=32/3
∴存在，AE=32/3
（3）圆E的半径是|6-x|，圆E与圆C相切，∴CE=|6-x|+8
又CE=√(x²+8²)
∴x²+8²=(|6-x|+8)²，解得 x=48/7或x=15
∴半径是|6-15|=9或|6-48/7|=6/7