Question

洛必达法则高数题

1. x→π/2 tanx/tan3x
2.x→0 x^2×e^（1/x^2）
3.中值定理证明 x/（1+x）＜ln（1+x）＜x （x＞0）

Answer 1

1.因为 x→π/2,所以是无穷比无穷的不定型可应用洛必达,分子分母同时求导=(secx)^2/3*(sec3x)^2=(cos3x)^2/3*(cosx)^2,为0/0型,再应用洛必达=3*2*cos3x*-sin3x/3*2*cosx*-sinx,将x=π/2代入sin,并化简得到:-cos3x/cosx,再次洛必达得到,3sin3x/-sinx,代入x=π/2,结果为3
2. 原式=e^（1/x^2)为分子1/x^2为分母,当x→0是无穷比无穷的不定型可应用洛必达,分子分母同时求导得到:e^（1/x^2）是无穷大,所以极限不存在.
3.应用拉格朗日中值定理,设f(t)=ln(1+t),该函数为初等函数所以在(0,t)连续且可导,由拉格朗日中值定理可知至少存在一个ζ在(0,t)之间使得f(t)-f(0)=f'(ζ)(t-0).
f'(ζ)=1/1+ζ,即ln(1+t)=t/1+ζ,所以t/1+t<ln(1+t)<t/1+0=t