Question

已知数列{an}满足A1=1/2，An+1=2An/(An+1),证明，不等式0＜An＜An+1对任意n属于正整数都成立

Answer 1

证：
a(n+1)=2an/(an +1)
1/a(n+1)=(an +1)/(2an)=(1/2)(1/an)+1/2
1/a(n+1) -1=(1/2)(1/an) -1/2=(1/2)(1/an -1)
[1/a(n+1) -1]/(1/an -1)=1/2，为定值。
1/a1 -1=1/(1/2) -1=1
数列{1/an -1}是以1为首项，1/2为公比的等比数列。
1/an -1=1/2^(n-1)
1/an=1+1/2^(n-1)=[2^(n-1)+1]/2^(n-1)=(2ⁿ+2)/2ⁿ
an=2ⁿ/(2ⁿ+2)
2ⁿ恒>0 因此an恒>0
a(n+1)-an=2^(n+1)/[2^(n+1)+2]-2ⁿ/(2ⁿ+2)
=[2^(n+1)(2ⁿ+2)-2ⁿ[2^(n+1)+2]]/[[2^(n+1)+2](2ⁿ+2)]
=(3×2ⁿ+2)/[[2^(n+1)+2](2ⁿ+2)]>0
a(n+1)>an
不等式0＜An＜An+1对任意n属于正整数都成立。

追问

a(n+1))=2an/(an +1)是什么意思？n是下标，不是已知数，你是不是当成已知数做的？

追答

本来也是按下标做的，你再仔细看一下。本题比较简单，就是根据已知条件a(n+1)和an的关系，等式两边同取倒数，再变形，得到1/an -1的表达式，进一步求an。