Question

这道双曲线选择题怎么做……

过双曲线x²/a²-y²/5-b²=1（a＞0）右焦点F作两条直线，当斜率为2时，直线与与双曲线左右两支各有一个焦点；当斜率为3时，直线与双曲线优质有两个不同交点，则双曲线离心率取值范围（）
A.（√2,5）
B.（√5，,10）
C.（5,5√2）
D.（1，√2）
答案选B，怎么做出来的？

Answer 1

解前分析：

①双曲线x²/a² - y²/(5-b²) = 1（a＞0）表示中心在原点，图像关于x，y轴对称的双曲线；

②对于双曲线x²/a² - y²/b² = 1，其渐近线方程为：y = ±(b/a)x ；

③双曲线x²/a² - y²/b² = 1 的离心率e = c/a 且e∈(1，+∞);

④双曲线的两支无限趋近于其渐近线。

解：

本题中的双曲线x²/a² - y²/(5-b²) = 1（a＞0），

其渐近线方程为：y = ±[√(5-b²)/a] x ，

（1）
∵过其右焦点、斜率为2的直线与该双曲线左右两支各有一个交点，

∴其渐近线的斜率的绝对值应大于2。

∴√(5-b²)/a ＞ 2

∴(5-b²)/a² ＞ 4

∴ 5-b² ＞ 4a²

∴c² = a² + (5-b²) ＞ 5a²

∴ c²/a² ＞ 5

∴ c/a ＞ √5
即：e ＞ √5

（2）
∵过其右焦点、斜率为3的直线与该双曲线的右支有两个不同交点，

∴其渐近线的斜率的绝对值应小于3。

∴√(5-b²)/a ＜ 3

∴(5-b²)/a² ＜ 9

∴ 5-b² ＜ 9a²

∴c² = a² + (5-b²) ＜ 10a²

∴ c²/a² ＜ 10

∴ c/a ＜ √10
即：e ＜ √10

综上（1）（2），知该双曲线离心率取值范围为（√5，√10）。

注：本题原答案如果刻意选B，那么答案B中的10应该更改为√10。