Question

已知，如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，△ABE和△ACF都是等边三角形，若AD：BC=12：25，且AB＞AC

求：S△DBE/S△DAF

Answer 1

∵∠BAC＝90º, AD⊥BC,
∴∠ABD＋∠BAD＝∠CAD＋∠BAD＝90º
∴∠ABD＝∠CAD ①
∵△ABE和△ADF都是正三角形，
∴∠ABE＝∠CAF ②
①＋②，得 ∠DBE＝∠DAF ③
∵AD⊥BC,
∴∠BDA＝∠ADC＝90º ④
∴由 ① 和 ④可知 △ABD∽△CAD
∴BD/AD＝AB/CA ⑤
而AB＝BE, CA＝AF,
∴ BD/AD＝BE/AF ⑥
∴由 ③ 和 ⑥ 可知 △DBE∽△DAF（两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似）
∴S△DBE／S△DAF＝(DB/DA)² （相似三角形面积比等于相似比的平方）
∵AD/BC＝12/25
∴AD为12个单位长，BC为25个单位长。
由射影定理可知 DA²＝BD·DC＝BD·(BC－BD)＝BC·BD－BD²
即 BD²－25BD＋12²＝0 ， 解得BD＝16 或 BD＝9.
∵AB＞AC,
∴由⑤可知 BD/AD＝AB/CA ＞1
∴BD＞AD＝12,
∴ BD＝16个单位长。 (BD＝9不合条件，应舍去）
∴S△DBE／S△DAF＝(DB/DA)² ＝（16/12）²＝16/9.