Question

求由曲线y=x^2 x=1 y=0所围成平面图形的面积，和此图形绕x轴旋转生成旋转体的体积

Answer 1

求由曲线y=x²， x=1 ，y=0所围成平面图形的面积，和此图形绕x轴旋转生成旋转体的体积
解：面积S=[0，1]∫x²dx=x³/3︱[0，1]=1/3
体积V=[0，1]∫πy²dx=[0，1]∫πx⁴dx=π(x^5)/5︱[0，1]=π/5.

追问

体积中的π是什么意思啊？ 是圆周率？

追答

π=3.1415926.......，圆周率啊！将[0，1]内的抛物线y=x²绕x轴旋转一周得到一个旋
转体，任取一垂直于x轴的横截面薄片，其半径r=y，厚度等于dx，那么该薄片的微
体积dv=πy²dx，故该旋转体的体积V=[0，1]∫dv=[0，1]∫πy²dx=[0，1]π∫x⁴dx
=π(x^5)/5︱[0，1]=π/5。

Answer 2

V(x)=x^2(0＜＝x<=1),dV=π∫(0,1)(x^2)^2dx=π／5