Question

已知直线l的方程为x=-2，圆O：(x^2)+(y^2)=1

已知直线l方程为x=-2，圆O：(x^2)+(y^2)=1，则以直线l为准线，中心在原点，且与圆恰好有两个公共点的椭圆方程为

Answer 1

以直线l:x=-2为准线，中心在原点的椭圆方程设为：x^2/a^2+y^2/b^2=1
则-2=-a^2/c; a^2=2c;b^2=a^2-c^2=2c-c^2
椭圆与圆恰好有两个公共点，即相切：所以b=1或a=1
若b=1,则2c-c^2=1， c=1, a^2=2
若a=1,则c=1/2; b^2=3/4
所以椭圆的方程为：x^2/2+y^2=1 或 x^2+y^2/(3/4)=1

Answer 2

设：椭圆是x²/a²＋y²/b²=1，准线a²/c=2，即2c=a²
1、若a=1【此时椭圆在圆内】，则c=1/2，b²=a²－c²=3/4，则椭圆是：
x²＋y²/(3/4)=1
2、若b=1【此时圆在椭圆内】，则2c=a²=b²＋c²=c²＋1，得：c=1，则a²=b²＋c²=2，则椭圆是：
x²/2＋y²=1

Answer 3

：解：（1）∵PQ为圆周的
1
4
，∴∠POQ=
π
2
．∴O点到直线l1的距离为
2
2
．----（2分）
设l1的方程为y=k（x 2），∴
|2k|
k2 1
=
2
2
，∴k2=
1
7
．∴l1的方程为y=±
7
7
(x 2)．---（5分）
（2）设椭圆方程为
x2
a2

y2
b2
=1(a＞b＞0)，半焦距为c，则
a2
c
=2．∵椭圆与圆O恰有两个不同的公共点，则a=1或b=1．-（6分）
当a=1时，c=
1
2
，b2=a2-c2=
3
4
，∴所求椭圆方程为x2
4y2
3
=1；--（8分）
当b=1时，b2 c2=2c，∴c=1，∴a2=b2 c2=2．
所求椭圆方程为
x2
2
y2=1．---（10分）
（3）设切点为N，则由题意得，在Rt△MON中，MO=2，ON=1，则∠NMO=30°，
N点的坐标为(-
1
2
，
3
2
)，---（11分）

若椭圆为
x2
2
y2=1．其焦点F1，F2
分别为点A，B故S△NF1F2=
1
2
×2×
3
2
=
3
2
，--（13分）
若椭圆为x2
4y2
3
=1，其焦点为F1(-
1
2
，0)，F2(
1
2
，0)，
此时S△NF1F2=
1
2
×1×
3
2
=
3
4