Question

求不定积分∫2dx/x√a^2-x^2

Answer 1

令x = a · sinz，dx = a · cosz dz
∫ 2dx/[x√(a² - x²)]
= ∫ 2(a · cosz)/(a · sinz · a · cosz) dz
= ∫ 2acosz/(a²sinzcosz) dz
= (2/a)∫ cscz dz
= (2/a)ln|cscz - cotz| + C
= (2/a)ln|a/x - √(a² - x²)/x| + C
= (2/a)[ln|a - √(a² - x²)| - ln|x|] + C

追问

是怎么想到设x = a · sinz的呢，我们一般的思维不都是设原来不定积分中的未知量吗

追答

考虑到根号里面的部分√(a² - x²)
如果设x = a · sinz
√(a² - x²) = √(a² - a² · sin²z) = √[a · (1 - sin²z)] = a · √(cos²z) = a · cosz
刚好去掉根号，所以这样设是最好的