Question

已知函数f(x)=x^3-(3/2)ax^2+4，其中a＞0. （1）若a=1，求曲线y=f(x)在点（2,f(2))...

已知函数f(x)=x^3-(3/2)ax^2+4，其中a＞0.
（1）若a=1，求曲线y=f(x)在点（2,f(2))处的切线方程
（2）若f(x)>0对x∈[-1,1]恒成立，求a的取值范围
要过程

Answer 1

f'(x)=3x^2-3ax
(1)a=1时，斜率=f'(2)=3*2^2-3*2=6
f(2)=8-6+4=6,切点（2，6）
切线方程为：y-6=6(x-2)即6x-y-6=0
(2)
对x∈[-1,1]，f(x)>0恒成立
x^3-(3/2)ax^2+4>0恒成立
（3/2)ax^2<x^3+4
x=0时，0<4成立
x≠0时，则需3/2a<x+4/x^2成立
设g(x)=x+4/x^2,g'(x)=1-8/x^3=(x^3-8)/x^3
x∈ [-1,0)时，g'(x)>0,g(x)递增
g(x)min=g(-1)=3
x∈(0,1]时，g'(x)<0,g（x)递减
g(x)min=g(1)=5
∴g(x)min=g(-1)=3
∴3/2*a<3
∴a的取值范围是a<2

Answer 2

(1)a=1,f(x)=x^3-3/2x^2+4
f'(x)=3x^2-3x
切线的斜率K=f'(2)=3*4-3*2=6
f(2)=8-3/2*4+4=6
故切线方程是y-6=6(x-2),即是y=6x-6.
(2)f(x)=x^3-3/2ax^2+4>0
3/2ax^2<x^3+4
即a<2/3*x+8/(3x^2) 对X属于[-1,1]恒成立.
设g(x)=2/3*x+8/(3x^2)
g'(x)=2/3+8/3*(-3)*1/x^3=2/3-8/x^3=0
x^3=12
x=12^(1/3)
在-1<=x<=1上,g'(x)
等一下,马上再来做.

Answer 3

图

Answer 4

f'(x)=3x²-3ax
（1）若a=1，则f'(x)=3x²-3x，所以曲线y=f(x)在点（2,f(2))处的切线斜率等于f'(2)=6，且f(2)=6
由点斜式得y-6=6(x-2)即切线方程为6x-y-6=0
(2)若f(x)>0对x∈[-1,1]恒成立，则函数f(x)的最小值>0即可
f'(x)=3x²-3ax=3x(x-a)=0可得x=0或a
①若a<-1则x<0时f'(x)<0;x>0时f'(x)>0；所以f(x)在x=0取得最小值=4>0成立
②若-1≤a≤1时，f(x)的最小值是f(-1)，f(0)，f(a)，f(1)中的最小者，f(-1)=3-3a/2>0得a<2显然成立；f(0)=4>0显然成立；f(1)=5-3a/2>0得a<10/3显然成立；f(a)=-a³/2+4>0得显然a<2成立
所以-1≤a≤1时，f(x)>0对x∈[-1,1]恒成立
③若a>1则x<0时f'(x)>0;x>0时f'(x)<0；所以f(x)在x=0取得最大值，最小值为f(-1)或f(1)
而f(-1)=3-3a/2>0得a<2；f(1)=5-3a/2>0得a<10/3；所以1<a<2
综合以上①②③三种情况可得，若f(x)>0对x∈[-1,1]恒成立，则a的取值范围是a<2