Question

用二重积分算体积

v是球体x^2+y^2+z^2<=r^2与x^2+y^2+z^2<=2rz的公共部分（可以用极坐标代换喔，我学过了，算了好几次没算出）

Answer 1

先计算两球的交线，易得：交线为z=r/2，平面z=r/2将这个公共部分分为两部分，这两敬迹部分是对称的，因此我们只求上半部分，然后2倍即可。
将z=r/2代入球面告陵方程得：x²袜稿戚+y²=3r²/4
因此本题转化为计算球面x²+y²+z²=r²被圆柱面x²+y²=3r²/4截出的球冠体积，然后2倍。
球面x²+y²+z²=r²方程化为：z=√(r²-x²-y²)
A1=∫∫√(r²-x²-y²)dxdy 积分区域为：x²+y²≤3r²/4
用极坐标
=∫∫ρ√(r²-ρ²)dρdθ
=∫[0---->2π]dθ∫[0---->√3r/2] ρ√(r²-ρ²)dρ
=2π∫[0---->√3r/2] ρ√(r²-ρ²)dρ
=π∫[0---->√3r/2] √(r²-ρ²)d(ρ²)
=-(2/3)π(r²-ρ²)^(3/2) |[0---->√3r/2]
=(2/3)π[r³-(r²-3r²/4)^(3/2)]
=(2/3)π*(7/8)r³
=(7/12)πr³
A=2A1=(7/6)πr³

追问

答案好像不对a

追答

你的答案是什么？

追问

12分之5 πr³

追答

刚才的A1算出的并不是那个球冠，而是以球冠为顶的曲顶柱体，下面多了一个圆柱，把圆柱减出去就行了。
下面的圆柱是以x²+y²=3r²/4为底，r/2为高，体积为：π*(3r²/4)*(r/2)=3πr³/8
从A1中将其减出：(7/12)πr³-3πr³/8=5πr³/24
然后2倍就是5πr³/12