Question

已知点A为圆C： （x+2）^2+（y-4）^2=8上的动点 O为坐标原点，N为OA的中点。...

已知点A为圆C： （x+2）^2+（y-4）^2=8上的动点 O为坐标原点，N为OA的中点。
1.求动点N轨迹L的方程
2.若轨迹L的切线在X轴和Y轴上的截距相等，求此切线的方程
3.从轨迹L外一点P（X1，Y1）向该轨迹引一条切线，切点为M,且有|PM|=|PO|,求使得|PM|取得最小值时点P的坐标。

Answer 1

1、设：N(x，y)，因点N是OA的中点，则A(2x，2y)，因点A在圆上，则：
(2x＋2)²＋(2y－4)²=8，即：(x＋1)²＋(y－2)²=2
2、点N的轨迹是圆，则在x、y轴上截距相等的切线是：
①过原点的切线。设：切线是y=kx，则圆心到直线的距离等于圆的班级R=√2，则：
|k＋2|/√(1＋k²)=√2，得：k=2±√6
②斜率为－1的直线。设：x＋y＋m=0，则圆心到直线的距离等于半径√2，解得：m=1或m=－3

设：P(x，y)，利用|PM|=|PO|，得到：
|PM|²=|PO|²
|PQ|²－R²=|PO|² 【点Q为轨迹L的圆心】
[(x＋1)²＋(y－2)²]－(√2)²=x²＋y²，化简得：
2x－4y＋3=0，此为动点P的轨迹方程。而|PM|的最小值就是|PO|的最小值，就是直线2x－4y＋3=0上的点到原点的距离的最小值，这个最小值就是原点到直线2x－4y＋3=0的距离，计算出：
d=3/√20，则|PM|的最小值是3/√20