Question

如图，以三角形ABC的边AB，AC为边长向三角形外作两个等边三角形ABD和三

连接CD和BE，CD和BE交于点P
(1)求证：角DPB=60度
(2)连接AP，求证：PA+PB+PC=CD

Answer 1

1、证明：
∵等边△ABD
∴AB＝AD＝BD，∠BAD＝∠ABD＝∠ADB＝60
∵等边△ACE
∴AC＝AE＝CE，∠CAE＝∠ACE＝∠AEC＝60
∵∠DAC＝∠BAD+∠BAC＝60+∠BAC，∠BAE＝∠CAE+∠BAC＝60+∠BAC
∴∠DAC＝∠BAE
∴△DAC全等于△BAE
∴∠ABE＝∠ADC
∵∠DPB+∠PDB+∠PBD＝180, ∠PDB＝∠ADB-∠ADC＝60-∠ADC，∠PBD＝∠ABD+∠ABE＝60+∠ABE
∴∠DPB+60-∠ADC+60-∠ABE＝180
∴∠DPB＝60°
2、证明：在PD上取点F，使PF＝PB
∵PF＝PB，∠DPB＝60
∴等边△BPF
∴BF＝PB，∠PBF＝60
∴∠ABE+∠ABF＝60
∵∠DBF+∠ABF＝∠ABD＝60
∴∠ABE＝∠DBF
∴△ABP全等于△DBF
∴DF＝PA
∵PD＝PB+DF
∴PD＝PB+PA
∵CD＝PC+PD
∴CD＝PA+PB+PC