Question

高一数学必修四题目

以原点和A(根号3,1)为顶点作等边△OAB,用向量方法求点B和向量AB的坐标

Answer 1

第一个问题：
令点B的坐标为（a，b），再令OA、OB的中点分别为D、E。则：
向量OA＝（√3，1）、向量OB＝（a，b），
∴向量OD＝（1/2）向量OA＝（√3/2，1/2）、向量OE＝（1/2）向量OB＝（a/2，b/2）。
∴向量BD＝向量OD－向量OB＝（√3/2－a，1/2－b），
　向量AE＝向量OE－向量OA＝（a/2－√3，b/2－1）。

∵△OAB是等边三角形，∴BD⊥OD、AE⊥OE，∴向量BD·向量OA＝0、向量AE·向量OB＝0。
由向量BD·向量OA＝0，得：3/2－√3a＋1/2－b＝0，∴b＝2－√3a。
由向量AE·向量OB＝0，得：a^2/2－√3a＋b^2/2－b＝0，∴a^2＋b^2＝2（b＋√3a）＝4。
∴a^2＋（2－√3a）^2＝4，∴a^2＋4－4√3a＋3a^2＝4，∴a（a－√3）＝0，∴a＝0，或a＝√3。
由a＝0，得：b＝2；　由a＝√3，得：b＝2－3＝－1。
∴点B的坐标为（0，2），或（√3，－1）。

第二个问题：
当点B的坐标为（0，2）时，向量AB＝（－√3，1）。
当点B的坐标为（√3，－1）时，向量AB＝（0，－2）。

Answer 2

因为以原点和A(根号3,1)为顶点作等边△OAB可以作两个
有点A的坐标可以知道∠AOx=30°
所以符合题意的点B的坐标可以为（0,2）或（根号3,-1）
向量AB的坐标为（负根号3, 1）或（0,-2）

Answer 3

B（0,2）；AB（负根号3,1）