Question

多元函数隐函数微分 二阶偏导的求法

例如：Z^3-2XZ+Y=0 的四个二阶偏导 要详细的过程

Answer 1

只有三个二阶偏导，∂²z/∂x²，∂²z/∂y²，∂²z/(∂x∂y)，（∂²z/(∂x∂y)和∂²z/(∂y∂x)是等价的，与求偏次序无关）。
z³ - 2xz + y = 0

z关于x的一阶偏导数为∂z/∂x
3z²(∂z/∂x) - 2z - 2x(∂z/∂x) = 0
∂z/∂x = 2z/(3z² - 2x)

关于x的二阶偏导数
∂²z/∂x² = {2(∂z/∂x)(3z² - 2x) - 2z[6z((∂z/∂x)-2]}/(3z² - 2x)²
把(∂z/∂x)代入上式化简计算就得到了z关于x的二阶偏导数

z关于y的一阶偏导数为∂z/∂y
3z²(∂z/∂y) - 2x(∂z/∂y) +1 = 0
∂z/∂y = -1/(3z² - 2x)
二阶偏导数
∂²z/∂y² = 6z(∂z/∂y)/(3z² - 2x)² = 6z/(3z² - 2x)³

在z关于y的一阶偏导数的基础上求的二阶混合偏导数∂²z/(∂x∂y)
∂²z/(∂x∂y) = ∂²z/(∂y∂x) = [6z(∂z/∂x) - 2]/(3z² - 2x)²
代入关于x的一阶偏导可得二阶混合偏导