Question

设a为实数，函数f(x)=e^x-2x+2a,求证，当a>ln2-1且x>0时，e^x>x^2-2ax+1

Answer 1

证明：设g(x)=e^x-x^2+2ax-1
则g(x)'=e^x-2x+2a=f(x)
又由f(x)'=e^x-2,令f(x)'<0
解之可得，0<x<ln2,
故函数f(x)的单调减区间（0，ln2）
单调增区间（ln2，+∞）
故函数f(x)有最小值f(ln2)=2-2ln2+2a>2-2ln2+2(ln2-1)=0
即f(x)>0,所以g(x)'>0
故函数g(x)为单调增函数，又g(0)=0
所以 x>0时，g(x)>0,即有e^x>x^2-2ax+1

打字慢，写的有点简，你在按这个思路算一遍哈